Пусть ис­ход­ная пи­ра­ми­да изоб­ра­же­на на ри­сун­ке (см. рис) таким об­ра­зом, что ADC  — ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ADC ги­по­те­ну­за AC равна

Центр O₁ опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ADC яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной его ги­по­те­ну­зы, он рав­но­удалён от точек A, D и C. Центр O опи­сан­ной во­круг пи­ра­ми­ды сферы также рав­но­удалён от этих точек и от точки B, по­это­му лежит на пря­мой, пер­пен­ди­ку­ляр­ной AC. По­сколь­ку центр O рав­но­удалён от точек B и D, он лежит на MO  — вы­со­те к сто­ро­не BD тре­уголь­ни­ка DBO. Зна­чит, ра­ди­ус опи­сан­ной сферы равен от­рез­ку DO. Так как MOO₁D  — пря­мо­уголь­ник (углы MDO и MDO₁), то:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке DOO₁:

Ответ:

Пусть ис­ход­ная пи­ра­ми­да изоб­ра­же­на на ри­сун­ке (см. рис) таким об­ра­зом, что ADC  — ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ADC ги­по­те­ну­за AC равна

Центр O₁ опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ADC яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной его ги­по­те­ну­зы, он рав­но­удалён от точек A, D и C. Центр O опи­сан­ной во­круг пи­ра­ми­ды сферы также рав­но­удалён от этих точек и от точки B, по­это­му лежит на пря­мой, пер­пен­ди­ку­ляр­ной AC. По­сколь­ку центр O рав­но­удалён от точек B и D, он лежит на MO  — вы­со­те к сто­ро­не BD тре­уголь­ни­ка DBO. Зна­чит, ра­ди­ус опи­сан­ной сферы равен от­рез­ку DO. Так как MOO₁D  — пря­мо­уголь­ник (углы MDO и MDO₁), то:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке DOO₁:

Ответ:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра ги­по­те­ну­за AB = 10 см.

Про­ве­дем вы­со­ту пи­ра­ми­ды SH. Так как по усло­вию бо­ко­вые ребра равны, то точна H яв­ля­ет­ся цен­тром опи­сан­ной окруж­но­сти во­круг ос­но­ва­ния. Сле­до­ва­тель­но, точка H  — се­ре­ди­на ги­по­те­ну­зы AB. Тогда AH = HB = 5 см.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник AHS. По усло­вию AS = AH = 5 см. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем SH:

Тогда вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 2 см. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма пи­ра­ми­ды:

Ответ: 16 см³.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра ги­по­те­ну­за AB = 10 см.

Про­ве­дем вы­со­ту пи­ра­ми­ды SH. Так как по усло­вию бо­ко­вые ребра со­став­ля­ют с ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды рав­ные углы, то точна H яв­ля­ет­ся цен­тром опи­сан­ной окруж­но­сти во­круг ос­но­ва­ния. Сле­до­ва­тель­но, точка H  — се­ре­ди­на ги­по­те­ну­зы AB. Тогда AH = HB = 5 см.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник AHS. По усло­вию AS = AH = 5 см. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем SH:

Тогда вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 3 см. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма пи­ра­ми­ды:

Ответ: 24 см³.

Удоб­но будет счи­тать тре­уголь­ник ABD ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды, тогда от­ре­зок AC будет яв­лять­ся её вы­со­той. Тогда объем пи­ра­ми­ды V равен: Так как тре­уголь­ни­ки ABC и A₁B₁C₁ по­доб­ны, при­чем ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен то Тогда объем ма­лень­кой пи­ра­ми­ды V₁ равен: Тогда объём остав­шей­ся части равен:

Ответ:

Удоб­но будет счи­тать тре­уголь­ник ABD ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды, тогда от­ре­зок AC будет яв­лять­ся её вы­со­той. Тогда объем пи­ра­ми­ды V равен: Так как тре­уголь­ни­ки ABC и A₁B₁C₁ по­доб­ны, при­чем ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен то Тогда объем ма­лень­кой пи­ра­ми­ды V₁ равен: Тогда объём остав­шей­ся части равен:

Ответ:

Пусть дан­ные за­да­чи изоб­ра­же­ны на ри­сун­ке (см. рис).

Так как бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды на­кло­не­ны под оди­на­ко­вым углом к плос­ко­сти ос­но­ва­ния, вы­со­та SO пи­ра­ми­ды па­да­ет в центр впи­сан­ной в ромб ABCD окруж­но­сти (точка O также яв­ля­ет­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ромба).

Пусть вы­со­та ромба равна h см, а сто­ро­на x см. Так как вы­со­та равна двум ра­ди­у­сам впи­сан­ной окруж­но­сти, Вы­ра­зим пло­ща­ди ромба, найдём x:

Про­ведём апо­фе­му SH, пер­пен­ди­ку­ляр OH к сто­ро­не CD. Угол SHO  — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла, он равен 60°. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке SHO катет OH лежит про­тив угла ве­ли­чи­ной 30°, по­это­му Найдём пло­щадь S бо­ко­вой по­верх­но­сти ис­ход­ной пи­ра­ми­ды:

Ответ: 48 см².

Пусть дан­ные за­да­чи изоб­ра­же­ны на ри­сун­ке (см. рис).

Так как бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды на­кло­не­ны под оди­на­ко­вым углом к плос­ко­сти ос­но­ва­ния, вы­со­та SO пи­ра­ми­ды па­да­ет в центр впи­сан­ной в ромб ABCD окруж­но­сти (точка O также яв­ля­ет­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ромба).

Пусть вы­со­та ромба равна h см, а сто­ро­на x см. Так как вы­со­та равна двум ра­ди­у­сам впи­сан­ной окруж­но­сти, Вы­ра­зим пло­ща­ди ромба, найдём x:

Про­ведём апо­фе­му SH, пер­пен­ди­ку­ляр OH к сто­ро­не CD. Угол SHO  — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла, он равен 60°. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке SHO катет OH лежит про­тив угла ве­ли­чи­ной 30°, по­это­му Найдём пло­щадь S бо­ко­вой по­верх­но­сти ис­ход­ной пи­ра­ми­ды:

Ответ:

Пусть дан­ные за­да­чи изоб­ра­же­ны на ри­сун­ке (см. рис): AP, BP и CP  — бо­ко­вые рёбра, углы между ними пря­мые.

До­стро­им тре­уголь­ную пи­ра­ми­ду PABC до па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Ра­ди­ус сферы, опи­сан­ный около дан­ной пи­ра­ми­ды и па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен по­ло­ви­не диа­го­на­ли d этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Найдём эту диа­го­наль:

Зна­чит, ра­ди­ус R опи­сан­ной окруж­но­сти равен Найдём пло­щадь S по­верх­но­сти сферы:

Ответ:

Пусть дан­ные за­да­чи изоб­ра­же­ны на ри­сун­ке (см. рис): AP, BP и CP  — бо­ко­вые рёбра, углы между ними пря­мые.

До­стро­им тре­уголь­ную пи­ра­ми­ду PABC до па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Ра­ди­ус сферы, опи­сан­ный около дан­ной пи­ра­ми­ды и па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен по­ло­ви­не диа­го­на­ли d этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Найдём эту диа­го­наль:

Зна­чит, ра­ди­ус R опи­сан­ной окруж­но­сти равен 2. Найдём объём V шара:

Ответ:

Про­ведём вы­со­ты FN и LM пи­ра­мид FABC и В тре­уголь­ни­ках FAN и LAM угол   — общий, а углы и   — пря­мые, зна­чит, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам, от­ку­да:

За­ме­тим, что:

Так как BK  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка ABC, то Тогда:

Най­дем от­но­ше­ние объёмов:

Ответ: 7:1.

Про­ведём вы­со­ты FN и LM пи­ра­мид FABC и В тре­уголь­ни­ках FBN и LBM угол   — общий, а углы и   — пря­мые, зна­чит, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам, от­ку­да:

За­ме­тим, что:

Так как AH  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка ABC, то Тогда:

Най­дем от­но­ше­ние объёмов:

Ответ: 3:2.

Па­рал­лель­ные пря­мые долж­ны ле­жать в одной плос­ко­сти, по­это­му утвер­жде­ние а) не­вер­но. Пря­мые AC и BD не имеют общих точек, а зна­чит, не пе­ре­се­ка­ют­ся, в от­ли­чие от пря­мых BD и CD. Скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся на­зы­ва­ют не­пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся пря­мые, ле­жа­щие в раз­ных плос­ко­стях, по­это­му утвер­жде­ние г) верно.

Ответ: г).

Па­рал­лель­ные пря­мые долж­ны ле­жать в одной плос­ко­сти, по­это­му утвер­жде­ние г) не­вер­но. Пря­мые MP и SN не имеют общих точек, а зна­чит, не пе­ре­се­ка­ют­ся, в от­ли­чие от пря­мых MP и SM. Скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся на­зы­ва­ют не­пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся пря­мые, ле­жа­щие в раз­ных плос­ко­стях, по­это­му утвер­жде­ние в) верно.

Ответ: в).

На при­ве­ден­ном изоб­ра­же­нии видно, что и Также про­ве­де­ны вы­со­ты PF и PM к сто­ро­нам ос­но­ва­ния и вы­со­та пи­ра­ми­ды В тре­уголь­ни­ках PFB и PMB ги­по­те­ну­за общая, а углы, при­ле­жа­щие к ней, равны по усло­вию, тогда эти тре­уголь­ни­ки равны по ги­по­те­ну­зе и остро­му углу, от­ку­да, как со­от­вет­ству­ю­щие эле­мен­ты, Так как HB  — общая сто­ро­на, то тре­уголь­ни­ки BHF и BHM равны по ка­те­ту и ги­по­те­ну­зе. Тогда и BH  — бис­сек­три­са сле­до­ва­тель­но,

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке PFB из­вест­но, что:

Тогда

В тре­уголь­ни­ке FBH имеем:

Из тре­уголь­ни­ка PHF по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Рас­счи­та­ем объём пи­ра­ми­ды:

Ответ:

На при­ве­ден­ном изоб­ра­же­нии видно, что и Также про­ве­де­ны вы­со­ты PF и PM к сто­ро­нам ос­но­ва­ния и вы­со­та пи­ра­ми­ды В тре­уголь­ни­ках PFB и PMB ги­по­те­ну­за общая, а углы, при­ле­жа­щие к ней, равны по усло­вию, тогда эти тре­уголь­ни­ки равны по ги­по­те­ну­зе и остро­му углу, от­ку­да, как со­от­вет­ству­ю­щие эле­мен­ты, Так как HB  — общая сто­ро­на, то тре­уголь­ни­ки BHF и BHM равны по ка­те­ту и ги­по­те­ну­зе. Тогда и BH  — бис­сек­три­са сле­до­ва­тель­но,

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке PFB из­вест­но, что:

Тогда

В тре­уголь­ни­ке FBH имеем:

Из тре­уголь­ни­ка PHF по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Рас­счи­та­ем объём пи­ра­ми­ды:

Ответ:

Объем пи­ра­ми­ды вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле тогда:

Ответ: в.

Объем пи­ра­ми­ды вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле тогда:

Ответ: б.

Тра­пе­ция ABCD рав­но­бед­рен­ная, в ко­то­рой BC = 2 см, AD = 8 см. Так как тра­пе­ция опи­са­на около окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са, то AB + CD = BC + AD, но AB = CD, тогда

Найдём пло­щадь тра­пе­ции ABCD и ра­ди­ус впи­сан­ной в неё окруж­но­сти. Так как HM = BC и AH = MD, то

Из тре­уголь­ни­ка ABH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим = 4 см. Тогда пло­щадь тра­пе­ции

По фор­му­ле S = p · r найдём ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са

По фор­му­ле объёма ко­ну­са найдём вы­со­ту:

Точка K  — точка ка­са­ния окруж­но­сти, впи­сан­ной в тра­пе­цию ABCD, с бо­ко­вой сто­ро­ны тра­пе­ции. Тогда угол PKO яв­ля­ет­ся углом на­кло­на бо­ко­вой грани ABP к ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды. Тре­уголь­ник POK пря­мо­уголь­ный, тогда

Так как все бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды рав­но­на­кло­не­ны к её ос­но­ва­нию, то угол на­кло­на бо­ко­вых гра­ней пи­ра­ми­ды к плос­ко­сти ос­но­ва­ния равен 60°.

Ответ: 60°.

Рас­смот­рим тра­пе­цию ABCD, впи­сан­ную в ос­но­ва­ние ко­ну­са. Так как AB = BC, то по свой­ству рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка угол BAC равен углу BCA. По­сколь­ку BC || AD, то угол DAC равен углу BCA, то есть угол BAC равен углу CAD, а угол BAD равен 60°, тогда угол CAD = 60° : 2 = 30°.

В тре­уголь­ни­ке CAD угол ACD = 180° − (60° + 30°) = 90°, то есть тре­уголь­ник CAD пря­мо­уголь­ный, его ги­по­те­ну­за AD яв­ля­ет­ся диа­мет­ром окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са.

Так как угол CAD = 30° и CD = 3 см, то AD = 2 · CD = 6 см, то есть ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 3 см.

По фор­му­ле объёма ко­ну­са найдём вы­со­ту:

Тре­уголь­ник POA пря­мо­уголь­ный, тогда

Так как все бо­ко­вые рёбра пи­ра­ми­ды рав­но­на­кло­не­ны к её ос­но­ва­нию, то угол на­кло­на бо­ко­вых рёбер пи­ра­ми­ды к плос­ко­сти ос­но­ва­ния равен 45°.

Ответ: 45°.